Een inleiding in de beschrijvende verzamelingenleer

Beschrijvende verzamelingenleer is de studie van definieerbare deelverzamelingen van R. We zijn ge¨ınteresseerd in hoe goed deze verzamelingen zich gedragen. Vragen die wij proberen te beantwoorden zijn onder anderen: welke deelverzamelingen van R voldoen aan de continuumhypothese (dat wil zeggen, hebben aftelbare ¨ cardinaliteit of de cardinaliteit van het continuum), en welke deelverzamelingen zijn ¨ (Lebesgue)meetbaar. We proberen zo groot mogelijke klassen te maken die een positief antwoord geven op voorgaande vragen door te beginnen met eenvoudig te beschrijven verzamelingen, zoals de open en gesloten verzamelingen, en vervolgens nieuwe verzamelingen te cre¨eren door middel van simpele operaties zoals aftelbare verenigingen, complementen en continue beelden. We ordenen de zo verkregen verzamelingen de complexiteit van hun beschrijving. In deze inleiding in de beschrijvende verzamelingenleer introduceren we een aantal belangrijke begrippen uit het vakgebied, namelijk de Poolse...Show moreBeschrijvende verzamelingenleer is de studie van definieerbare deelverzamelingen van R. We zijn ge¨ınteresseerd in hoe goed deze verzamelingen zich gedragen. Vragen die wij proberen te beantwoorden zijn onder anderen: welke deelverzamelingen van R voldoen aan de continuumhypothese (dat wil zeggen, hebben aftelbare ¨ cardinaliteit of de cardinaliteit van het continuum), en welke deelverzamelingen zijn ¨ (Lebesgue)meetbaar. We proberen zo groot mogelijke klassen te maken die een positief antwoord geven op voorgaande vragen door te beginnen met eenvoudig te beschrijven verzamelingen, zoals de open en gesloten verzamelingen, en vervolgens nieuwe verzamelingen te cre¨eren door middel van simpele operaties zoals aftelbare verenigingen, complementen en continue beelden. We ordenen de zo verkregen verzamelingen de complexiteit van hun beschrijving. In deze inleiding in de beschrijvende verzamelingenleer introduceren we een aantal belangrijke begrippen uit het vakgebied, namelijk de Poolse ruimten, in het bijzonder 2N en N N, de Borelverzamelingen en de analytische verzamelingen, en geven een aantal fundamentele eigenschappen van deze begrippen. In hoofdstuk 1 behandelen we de Poolse ruimten. Dit zijn de topologische ruimten die van groot belang blijken te zijn voor de studie van R. In hoofdstuk 2 beschouwen we de Borelhi¨erarchie. In deze hi¨erarchie bouwen we de klasse der Borelverzamelingen van onder op door te beginnen met de open verzamelingen, vervolgens complementen toe te voegen, daarvan alle aftelbare verenigingen toe te voegen, van die verzamelingen weer de complementen erbij doen en zo verder. Herhaling van dit proces geeft uiteindelijk alle Borelverzamelingen in R. In hoofdstuk 3 bekijken we de analytische verzamelingen. Dit zijn projecties van Borelverzamelingen. Het blijkt dat elke Borelverzameling analytisch is, maar er is (in R) een analytische verzameling die niet Borel is. We zullen dit bewijzen, en ook bewijzen dat elke analytische verzameling Lebesguemeetbaar is.Show less

Leiden University Student Repository

Documents

In Collections

Een inleiding in de beschrijvende verzamelingenleer