Het ladenprincipe, ook wel bekend onder de naam duivenhokprincipe, zegt in zijn simpelste vorm dat als een voldoende aantal objecten verdeeld wordt over niet te veel laden, er minstens ´e´en lade...Show moreHet ladenprincipe, ook wel bekend onder de naam duivenhokprincipe, zegt in zijn simpelste vorm dat als een voldoende aantal objecten verdeeld wordt over niet te veel laden, er minstens ´e´en lade is die veel van deze objecten bevat. In 1930 ontdekte Frank P. Ramsey [Ramsey] een bijzondere uitbreiding van dit principe die onder andere zegt dat als we de verzameling van takken van een oneindige volledige graaf in twee klassen verdelen, er een oneindige volledige deelgraaf is waarvan alle takken tot dezelfde klasse behoren. Het principe toont aan dat vanaf een bepaalde omvang willekeurige structuren noodzakelijkerwijs regelmatige deelstructuren moeten bevatten. Dit verslag geeft de resultaten van het onderzoek dat gedaan is naar de Stelling van Ramsey en de mogelijke uitbreidingen hiervan. Veel resultaten komen tot stand door het nemen van een partitie van een verzameling en vervolgens op een handige manier de verschillende objecten van de verzameling in de juiste klassen van de partitie te plaatsen. We spreken vanwege deze reden vaak over partitierelaties en noemen de stellingen die we behandelen partitiestellingen. Hoofdstuk 1 is een inleiding in partitierelaties en vormt de basis voor alles wat verder volgt. Het hoofdstuk is met name belangrijk omdat het partitiesymbool hierin ge¨ıntroduceerd wordt. Door gebruik te maken van dit symbool kunnen partitierelaties op een korte en duidelijke manier weergegeven worden. Hoofdstuk 2 behandelt de Stelling van Ramsey en geeft een beperkte uitbreiding van deze stelling. De Stelling van Erd˝os en Rado wordt in hoofdstuk 3 behandeld. Deze stelling is een uitbreiding van de stelling van Ramsey naar het overaftelbare geval. Het hoofdstuk kan het beste gelezen worden na hoofdstuk 2 aangezien het een logisch vervolg hierop is. Er wordt aangenomen dat de lezer bekend is met de basisprincipes van de verzamelingenleer. Een korte herhaling van de belangrijkste begrippen en notatie, wordt gegeven in de bijlage. Een andere belangrijke aanname die we maken is het keuzeaxioma; dat wil zeggen, we gebruiken het axiomastelsel van Zermelo–Fraenkel altijd samen met het keuzeaxioma. De belangrijkste bron waar gebruik van is gemaakt tijdens het onderzoek, is [Erd˝os et al.]. Voor een ieder die meer wil weten over het onderwerp is dit boek aan te raden.Show less
Beschrijvende verzamelingenleer is de studie van definieerbare deelverzamelingen van R. We zijn ge¨ınteresseerd in hoe goed deze verzamelingen zich gedragen. Vragen die wij proberen te beantwoorden...Show moreBeschrijvende verzamelingenleer is de studie van definieerbare deelverzamelingen van R. We zijn ge¨ınteresseerd in hoe goed deze verzamelingen zich gedragen. Vragen die wij proberen te beantwoorden zijn onder anderen: welke deelverzamelingen van R voldoen aan de continuumhypothese (dat wil zeggen, hebben aftelbare ¨ cardinaliteit of de cardinaliteit van het continuum), en welke deelverzamelingen zijn ¨ (Lebesgue)meetbaar. We proberen zo groot mogelijke klassen te maken die een positief antwoord geven op voorgaande vragen door te beginnen met eenvoudig te beschrijven verzamelingen, zoals de open en gesloten verzamelingen, en vervolgens nieuwe verzamelingen te cre¨eren door middel van simpele operaties zoals aftelbare verenigingen, complementen en continue beelden. We ordenen de zo verkregen verzamelingen de complexiteit van hun beschrijving. In deze inleiding in de beschrijvende verzamelingenleer introduceren we een aantal belangrijke begrippen uit het vakgebied, namelijk de Poolse ruimten, in het bijzonder 2N en N N, de Borelverzamelingen en de analytische verzamelingen, en geven een aantal fundamentele eigenschappen van deze begrippen. In hoofdstuk 1 behandelen we de Poolse ruimten. Dit zijn de topologische ruimten die van groot belang blijken te zijn voor de studie van R. In hoofdstuk 2 beschouwen we de Borelhi¨erarchie. In deze hi¨erarchie bouwen we de klasse der Borelverzamelingen van onder op door te beginnen met de open verzamelingen, vervolgens complementen toe te voegen, daarvan alle aftelbare verenigingen toe te voegen, van die verzamelingen weer de complementen erbij doen en zo verder. Herhaling van dit proces geeft uiteindelijk alle Borelverzamelingen in R. In hoofdstuk 3 bekijken we de analytische verzamelingen. Dit zijn projecties van Borelverzamelingen. Het blijkt dat elke Borelverzameling analytisch is, maar er is (in R) een analytische verzameling die niet Borel is. We zullen dit bewijzen, en ook bewijzen dat elke analytische verzameling Lebesguemeetbaar is.Show less
Deze scriptie gaat over de statistische berekeningen die gebruikt zijn voor de rechtszaak van Lucia de B. Zij is in juni 2004 door het gerechtshof in Den Haag veroordeeld voor 7 moorden en 3...Show moreDeze scriptie gaat over de statistische berekeningen die gebruikt zijn voor de rechtszaak van Lucia de B. Zij is in juni 2004 door het gerechtshof in Den Haag veroordeeld voor 7 moorden en 3 pogingen tot moord. Zij heeft hiervoor levenslang en TBS gekregen. Zij heeft in verschillende ziekenhuizen gewerkt waaronder het Juliana Kinderziekenhuis (JKZ) en het Rode Kruis Ziekenhuis (RKZ). De statisticus dr. Elffers is door de rechter gevraagd om een statistisch rapport te schrijven over de zaak. In eerste instantie heeft hij alleen berekeningen gedaan voor het JKZ, omdat alleen van dat ziekenhuis de gegevens vrij gegeven waren. In dit ziekenhuis zijn ze haar gaan verdenken, omdat er erg veel incidenten tijdens haar diensten plaats vonden (onder incidenten worden sterfgevallen en reanimaties verstaan). Op verzoek van de rechter zijn later ook berekeningen gedaan voor twee afdelingen van het RKZ waar ze in dezelfde periode gewerkt heeft. Men vroeg zich af of het toeval zou kunnen zijn dat Lucia betrokken was bij al die incidenten, terwijl ze onschuldig was. De rechter heeft tijdens de rechtszaak aan dr. Elffers gevraagd wat de kans is dat het toeval zou kunnen zijn dat Lucia bij zoveel incidenten aanwezig was. Dr. Elffers heeft uitgerekend wat de kans is dat een willekeurig persoon betrokken kan zijn bij zoveel incidenten, als de incidenten volgens toeval gebeuren. Waarom zijn deze berekeningen zo belangrijk en welke invoeld hebben ze tijdens de rechtszaak gehad? Statistici geloofden dat er medisch bewijs was voor de moorden en de medici geloofden dat daar statistisch bewijs voor was. Dit heeft er toe geleid dat de rechter Lucia schuldig heeft bevonden. In deze scriptie zullen we kijken naar de berekeningen die dr. Elffers gedaan heeft, de aanmerkingen daarop en mogelijke verbeteringen. Hiervoor worden alternatieve statistische toetsingsgrootheden besproken en met elkaar vergeleken.Show less
Gaussische kromming is een eigenschap gedefinieerd op tweedimensionale differentieerbare vari¨eteiten. Voor bepaalde numerieke berekeningen kan het nodig zijn om met triangulaties van zulke...Show moreGaussische kromming is een eigenschap gedefinieerd op tweedimensionale differentieerbare vari¨eteiten. Voor bepaalde numerieke berekeningen kan het nodig zijn om met triangulaties van zulke oppervlakken te werken in plaats van met een analytische beschrijving. In dit verslag zal ik ingaan op het schatten van Gaussische kromming op punten van zo’n getrianguleerd oppervlak. Ik zal een methode beschrijven gebaseerd op de stelling van Gauss-Bonnet, en laten zien hoe deze zich in de praktijk gedraagt aan de hand van een aantal triangulaties.Show less
