Many investors use optimization as a tool to make investment decisions. An investor decides which proportion of his wealth to invest in which asset class, thus composing his investment portfolio....Show moreMany investors use optimization as a tool to make investment decisions. An investor decides which proportion of his wealth to invest in which asset class, thus composing his investment portfolio. Given all asset classes available to the investor, with optimization the investor tries to find the portfolio with the most favourable risk and return trade-off. Historical data and models are used to estimate asset classes’ risks and returns. A problem with this approach is that optimal portfolios are often sensitive to variation in the uncertain risk- and return estimates, as shown in [18] and [23]. An alternative is to compute not only the optimal portfolio, but also the portfolios that are near-optimal, see [16]. This results in a near-optimal region of portfolios that can be shown to be more robust. The method to compute near-optimal regions is however computationally intensive. In this thesis, we reduce the computation time to determine a near-optimal region, without losing significant accuracy. When a near-optimal region is known, an investor still needs to decide which (near-optimal) portfolio to invest in. Near-optimal region estimates can be objects of high affine dimension, which are difficult to grasp and navigate for practitioners. In this thesis, we use polytope theory and show how this can be used to study the near-optimal region in more detail.Show less
Two areas of functional analysis which have been the subject of extensive study are operator theory and ordered vector spaces. While these have developed into flourishing independent areas, each...Show moreTwo areas of functional analysis which have been the subject of extensive study are operator theory and ordered vector spaces. While these have developed into flourishing independent areas, each with their own experts, it is the author’s impression that the theories have a bit more in common than the literature might suggest. The goal of this thesis is therefore to exhibit connections between the general theories of C ∗ -algebras and ordered vector spaces. Coming into this project, I was already familiar with the theory of C ∗ - algebras, but I had little experience with ordered vector spaces. Therefore most of the theory is motivated from the C ∗ -algebra point of view. The thesis is built up in two parts. In the first part, we take ideas and concepts from the theory of C ∗ -algebras to ordered vector spaces, leading to concepts such as order ideals, order semisimplicity, and order unitisations. Conversely, in the second part we ask questions about the order structure of C ∗ -algebras, with an emphasis on the lattice-like structure of a C ∗ -algebra. Detailed outlines of each of these parts are given below. This thesis is written with a reader in mind having roughly the same background as I had coming into this project. As such, we assume familiarity with graduate level functional analysis and operator theory, as for instance provided by the Dutch MasterMath courses Functional Analysis and Operator Algebras. Concretely, the first part relies heavily on notions such as topological vector spaces, locally convex spaces, the Hahn–Banach theorems, weak and weak-∗ topologies, and the Krein–Milman theorem. Most of the second part only requires familiarity with the basic theory of bounded linear operators on a Hilbert space, and the notion of a C ∗ -algebra. Only in Chapter 8 do we use slightly more advanced concepts from the theory of C ∗ -algebras, such as irreducible representations, the strong operator topology, and Kaplansky’s density theorem. Note that prior knowledge of partially ordered vector spaces is not assumed. The reason for this is purely circumstantial: no courses on this subject are taught at the author’s university (or elsewhere in the Netherlands) at the time of writing. We cannot aim to give a full overview of the theory; the interested reader is encouraged to consult [AT07].Show less
In this thesis, we will see a criterion for positive operators on a partially ordered vector space induced by a polyhedral cone with linearly independent extreme vectors, as well as for block...Show moreIn this thesis, we will see a criterion for positive operators on a partially ordered vector space induced by a polyhedral cone with linearly independent extreme vectors, as well as for block-diagonal maps on a partially ordered vector space ordered by a norm-induced cone. Finally, we will show that positive operators on a complete partially ordered vector space ordered by a norm-induced cone are continuous.Show less
In this thesis we focus on the modeling of large credit losses in corporate asset portfolio. We compare loss estimates based on the classic Vasicek’s approach with the assumption of normal...Show moreIn this thesis we focus on the modeling of large credit losses in corporate asset portfolio. We compare loss estimates based on the classic Vasicek’s approach with the assumption of normal-distributed loss distribution, and the copula approach generating heavier-tailed loss distribution. We also provide the numeric implementations of both Vasicek’s and copula modeling approaches which are widely used in bank’s risk management. In addition, we demonstrate how Vasicek’s approach can be adopted for estimating portfolio’s concentration risk charge. The last work is my own development inspired by my internship experience at the Royal Bank of Scotland. All presented results are complemented with review of the corresponding classical works in credit risk modeling.Show less
In het afgelopen decennium is er onderzoek gedaan naar het generaliseren van theorie van Rieszruimten naar algemene partieel geordende vectorruimten. Deze scriptie gaat hierop door en heeft als...Show moreIn het afgelopen decennium is er onderzoek gedaan naar het generaliseren van theorie van Rieszruimten naar algemene partieel geordende vectorruimten. Deze scriptie gaat hierop door en heeft als doel om een gegeven manier, die gebruik maakt van Dedekind completeringen van Rieszruimten, te bestuderen en na te gaan of deze manier om Rieszcompleteringen te maken van ruimten van operatoren werkt voor alle ruimten van operatoren. Voor algemene theorie over partieel geordende vectorruimte, zie bijvoorbeeld [3,4]. In deze scriptie gaan we eerst bestuderen wat partieel geordende vectorruimten zijn en wanneer deze ruimten Rieszruimten zijn. Vervolgens bestuderen we Rieszcompleteringen van partieel geordende vectorruimten. Tot slot beschouwen we de verzameling van lineaire, reguliere operatoren van twee Rieszruimten. We gaan in deze laatste sectie voor de hand liggende deelruimten bekijken van de ruimten van operatoren door Rieszruimten te kiezen. Voor deze deelruimten blijkt de manier te werken, echter zijn er voor de laatst gekozen deelruimte veel extra eisen toegepast zodat we een voor de hand liggend bewijs konden vinden. Het vermoeden is dat er een element is, dat niet voldoet aan deze extra eisen en waarvoor deze manier niet werkt. Graag zou ik Onno van Gaans willen bedanken voor de intensieve en zeer gewaardeerde begeleiding.Show less
Het eerste hoofdstuk van deze scriptie gaat over het begrip analytische continuatie. In de daaropvolgende hoofdstukken wordt aandacht besteed aan de mogelijkheden om dit concept toe te passen op...Show moreHet eerste hoofdstuk van deze scriptie gaat over het begrip analytische continuatie. In de daaropvolgende hoofdstukken wordt aandacht besteed aan de mogelijkheden om dit concept toe te passen op het sommeren van divergente reeksen. Er zullen verschillende typen analytische continuaties beschouwd worden, die elk gebruikt kunnen worden om dergelijke reeksen te sommeren.Show less
In de spectraaltheorie van operatoren speelt disjunctheid een belangrijke rol in complexe Rieszruimten. Het begrip disjunctheid in een Rieszruimte kan worden gegeneraliseerd naar partieel geordende...Show moreIn de spectraaltheorie van operatoren speelt disjunctheid een belangrijke rol in complexe Rieszruimten. Het begrip disjunctheid in een Rieszruimte kan worden gegeneraliseerd naar partieel geordende vectorruimten [4]. Dat leidt tot de vraag of disjunctheid gegeneraliseerd kan worden naar complexe partieel geordende vectorruimten en hoe de compatibiliteit met disjunctheid in complexe Rieszruimten is. In deze scriptie wordt een natuurlijk begrip van disjunctheid in complexe partieel geordende vectorruimten gegeven, en wordt aangetoond dat dit begrip compatibel is met disjunctheid in complexe Rieszruimten. Als eerste wordt in Hoofdstuk 1 de theorie van partieel geordende vectorruimten zorgvuldig opgebouwd. Daarna wordt kort gekeken naar de classificatie van Archimedische en Dedekind volledige partieel geordende vectorruimten. In Hoofdstuk 2 worden de re¨ele Rieszruimten bestudeerd. Hierbij wordt een absolute waarde geconstrueerd, waaruit het begrip disjunctheid natuurlijk volgt. Vervolgens wordt in Hoofdstuk 3 de complexificatie van een re¨ele Rieszruimte naar een complexe Rieszruimte ge¨ıntroduceerd. Net als in Hoofdstuk 2 kan hierbij een absolute waarde worden geconstrueerd, waarmee het begrip disjunctheid kan worden bestudeerd. Als laatste wordt in Hoofdstuk 4 de disjunctheid in complexe deelruimten bekeken, waaronder het disjuncte complement. Hierbij wordt gebruik gemaakt van pre-Rieszruimten en het inbedden van orde dichte deelruimten in een overkoepelende Rieszruimte.Show less
In the theory of operators on Riesz spaces an important result states that Riesz homomorphisms on a C(Ω)-space are composition multiplication operators. Our aim is to extend this theorem to, not...Show moreIn the theory of operators on Riesz spaces an important result states that Riesz homomorphisms on a C(Ω)-space are composition multiplication operators. Our aim is to extend this theorem to, not necessarily Riesz, subspaces of such a C(Ω)-space. The main result entails the following, Riesz∗ homomorphisms on a pointwise order dense subspace X of C(Ω) are composition multiplication operators. Furthermore, we use this result to find additional results on Riesz∗ homomorphisms on these subspaces. We will exhibit, for example, that the inverse of a bijective Riesz∗ homomorphism on X is again a Riesz∗ homomorphism. As another corollary of the result we characterize which Riesz∗ homomorphisms on X are even complete Riesz homomorphisms. Results developed on pointwise order dense subspaces of C(Ω) can be applied in Sobolev space theory. As an analogy of the above we will develop a similar theory on subspaces of L p for a finite measure space. Most results carry over easily from the C(Ω) case. We will investigate difference in structure of Riesz∗ homomorphisms between these two type of space.Show less
This thesis concerns mathematical models and statistical analysis of management of default risk for markets, individual obligors, and portfolios. Firstly, we consider to use CPV model to estimate...Show moreThis thesis concerns mathematical models and statistical analysis of management of default risk for markets, individual obligors, and portfolios. Firstly, we consider to use CPV model to estimate default rate of both Chinese and Dutch credit market. It turns out that our CPV model gives good predictions. Secondly, we study the KMV model, and estimate default risk of both Chinese and Dutch companies based on it. At last, we use two mathematical models to predict the default risk of investors’ entire portfolio of loans. In particular we consider the influence of correlations. Our models show that correlation in a portfolio may lead to much higher risks of great losses.Show less
In this thesis we look at Calvert’s theorem and elaborate its proof. Calvert’s theorem connects the so-called duality map to contractive projections in Banach spaces. In the theorem some conditions...Show moreIn this thesis we look at Calvert’s theorem and elaborate its proof. Calvert’s theorem connects the so-called duality map to contractive projections in Banach spaces. In the theorem some conditions are required. In this thesis we check if the theorem could be true when these conditions do not hold. There appear to be examples in which not all the conditions hold, while the result of the theorem actually remains intact. However, we also present examples in which not all of the conditions hold, and indeed the result of the theorem is no longer true. In the previous paragraph the duality map was mentioned. The duality map on a Banach space X is given for any x ∈ X with x 6= 0 by Jx = {φ ∈ X∗ : ||φ|| = 1, φ(x) = ||x||}. With the Hahn-Banach theorem we have that this set is non-empty. In this thesis we will see that if certain conditions hold on the Banach space X, Jx consists of exactly one element. This will be used in Calvert’s theorem, which states that if X is strictly convex and reflexive, and its dual is also strictly convex, that a closed linear subspace is the range of a linear contractive projecton if and only if the duality map of the subspace is a linear subspace of the dual space of X, with a contractive projection being a projection where each element is projected upon an element with a norm smaller than or equal to the norm of its original. Calvert’s theorem was proved by Bruce Calvert in 1975, but this original proof is very short and many of the details are left out. Therefore we will rewrite the proof, including the details that were left out. The proof of Calvert’s theorem is really based on all the conditions stated in the theorem, but we do not know for certain that all of these conditions are actually necessary. There might be a proof of an altered version of Calvert’s theorem possible in which not all of the conditions are needed. Therefore we will investigate examples in which some of the conditions do no longer hold, to see if the result of Calvert’s theorem still holds. Some examples give the impression that certain conditions on X are necessary while other examples in which different conditions on X are left out suggest that some of the conditions are not always necessary. This is an interesting subject for further research. We have also considered the shape of the unit sphere of the dual norm of a norm in R 2 when given the shape of the unit sphere of the norm itself. However this was not investigated fully enough to end up in the thesis, but might also be an interesting subject for further research. In chapter one we will start with defining and explaining the Gateaux derivative, and consider some properties it has. This will be useful when considering the duality maps and their properties, which we will do in chapter two. Chapter three will be about the contractive projection, and also about the nearest-point projection and the connection between both, which will be useful when proving Calvert’s theorem in chapter four. We will conclude with chapter five in which we investigate the examples stated above.Show less
De Stieltjes-integraal is vernoemd naar Thomas Johannes Stieltjes. Naar verluidt heeft hij deze integraal-definitie ontwikkeld tijdens zijn onderzoek naar kettingbreuken [6] [11]. De Stieltjes...Show moreDe Stieltjes-integraal is vernoemd naar Thomas Johannes Stieltjes. Naar verluidt heeft hij deze integraal-definitie ontwikkeld tijdens zijn onderzoek naar kettingbreuken [6] [11]. De Stieltjes-integraal R f(t)dg(t) is algemener dan de bekende Riemann-integraal R f(t)dt en maakt gebruik van een zogenaamde integrator, de functie g(t), die te beschouwen is als een gewichtsfunctie. In de Riemann-integraal is de integrator de identieke functie g(t) = t. Een toepassing is vooral te vinden in de waarschijnlijkheidsleer, bijvoorbeeld in de berekening van de momentvoortbrengende functie van een stochast. In Topics in analysis 1 - Real functions van dr. O. van Gaans [5] staan enkele stellingen over de Stieltjes-integraal van functies van een compact interval [a, b] naar R. Hoe zien die stellingen eruit als het gaat om functies van [a, b] naar een algemene Banachruimte X in plaats van R? Daar zal in deze scriptie aandacht aan gegeven worden. In paragraaf 2 wordt een korte biografie van Thomas Johannes Stieltjes gegeven. In de stellingen over de Stieltjes-integraal en de bewijzen daarvan, die in deze scriptie aan de orde komen, worden begrippen als partitie, fijnere partitie, maaswijdte en strooiing veelvuldig gebruikt. Zo ook het begrip begrensde variatie en de definities van de Stieltjes-integraal. Deze begrippen worden in paragraaf 3 eerst gedefini¨eerd. Veel definities in deze scriptie zullen al bekend zijn en zijn gebaseerd op definities in de gebruikte literatuur. De nadruk ligt op paragraaf 4 waarin vier stellingen geformuleerd zijn en bewezen worden. Deze laatste paragraaf eindigt met een uitgewerkt voorbeeld.Show less
In deze scriptie onderzoeken we integralen van functies met waarden in een Banachruimte, specifiek met waarden in ruimtes van continue functies. De twee belangrijkste integralen van deze soort zijn...Show moreIn deze scriptie onderzoeken we integralen van functies met waarden in een Banachruimte, specifiek met waarden in ruimtes van continue functies. De twee belangrijkste integralen van deze soort zijn de Pettis- en Dunfordintegraal. We vragen ons af of we in het algemeen een functie met waarden in een ruimte van continue functies kunnen construeren die niet Pettis-, maar wel Dunfordintegreerbaar is. In §2 bekijken we in het algemeen hoe we functies met waarden in een Banachruimte kunnen integreren. Daarna wordt in §3 een voorbeeld gepresenteerd van een functie die niet Pettisintegreerbaar is. Voordat we de hoofdstelling in §6 kunnen behandelen, moeten we eerst wat gereedschap ontwikkelen. In §4 werken we naar een handige representatiestelling van Riesz toe en in §5 bekijken we de nodige topologische voorkennis.Show less
