In his paper [14], A. Granville proved several strong results about the distribution of square-free values of polynomials, under the assumption of the abc-conjecture. In our thesis, we generalize...Show moreIn his paper [14], A. Granville proved several strong results about the distribution of square-free values of polynomials, under the assumption of the abc-conjecture. In our thesis, we generalize some of Granville’s results to k-free values of polynomials (i.e., values of polynomials not divisible by the k-th power of a prime) . Further, we generalize a result of Granville on the gaps between consecutive square-free numbers to gaps between integers, such that the values of a given polynomial f evaluated at them are k-free. All our results are under assumption of the abc-conjecture.Show less
In de wat meer gecompliceerde organismen, zoals de mens, vormen netwerken van zenuwcellen een signaalsysteem, voor het observeren en reageren op de buitenwereld. Zo’n netwerk van zenuwcellen noemen...Show moreIn de wat meer gecompliceerde organismen, zoals de mens, vormen netwerken van zenuwcellen een signaalsysteem, voor het observeren en reageren op de buitenwereld. Zo’n netwerk van zenuwcellen noemen we een bio-neuraal netwerk. We bekijken zenuwcellen als lichaamscellen die een impuls kunnen ontvangen, en die een impuls kunnen doorgeven aan een andere zenuwcel, waarmee die in contact staat. We kijken in deze scriptie naar het potentiaalverschil van een netwerk van zenuwcellen, uitgezet tegen de tijd. Om inzicht te krijgen in zulk soort modellen, moeten we ons eerst beperken tot de werking van een enkele zenuwcel. Hierbij zullen we numerieke experimenten uitvoeren met CONTENT. Vervolgens zullen we uitgebreid een wiskundig model voor de membraanpotentialen van de cellen in een bio-neuraal netwerk afleiden, en ook daarmee numerieke experimenten uitvoeren. We zullen ons bezighouden met twee versies van het model: een versie zonder tijdsvertraging, delay, en een versie met delay. De delay ontstaat uit het feit dat het tijd kost om als prikkel van het ene neuron naar het andere te reizen. Het doel van het onderzoek is, behalve het ’verkennen’ van deze modellen, het uitzoeken van belangrijke verschillen tussen de twee modellen. De numerieke analyse van het tweede model, het model waar er sprake is van een vertraging, zal worden gedaan met Matlab. Hierbij heb ik zelf een programma binnen Matlab geschreven, die een delay-vergelijking kan oplossen met behulp van een methode die Successieve Integratie heet. Dit bespreken we, en in de appendix zit de code van de m-fileShow less
Planetary nebulae (PN) often have weird shapes, due to an inhomogeneous interstellar medium. We investigated the propagation of the shock wave that forms a PN. The form of the shock wave depends on...Show morePlanetary nebulae (PN) often have weird shapes, due to an inhomogeneous interstellar medium. We investigated the propagation of the shock wave that forms a PN. The form of the shock wave depends on the initial density distribution. The equation that describes the shock propagation is a first order non-linear partial differential equation. We found a analytic solution for the equation after a certain assumptions for some basic functions and made estimations for more complex density functions. We also made a model that used toroidal coordinates and one in three dimensions. The toroidal model resembles the Red Rectangle nebula. We also inverted the two-dimensional equation with some assumptions to derive the initial density function from a known shock wave. We used a numerical model to compute the density profile for eleven known planetary nebula. This leads to a qualitative classification into the ellipsoidal, disk and and irregular nebula. Inserting some test shock waves into this equation shows the existence of a extraordinary clover like shape in the density function.Show less
