Percolatietheorie is het onderdeel van de kansrekening dat zich toelegt op de studie van configurationele eigenschappen van random netwerken. We kijken naar bindingpercolatie op Zd =, d ≥ 2 (het d...Show morePercolatietheorie is het onderdeel van de kansrekening dat zich toelegt op de studie van configurationele eigenschappen van random netwerken. We kijken naar bindingpercolatie op Zd =, d ≥ 2 (het d-dimensionale Euclidische rooster, met Zd de roosterpunten en Ed de bindingen van het rooster) en Tσ, σ ≥ 2 (de gewortelde boom met vertakkingsgraad σ). Aan elke binding van het rooster kennen we een ‘random gewicht’ toe, dat we uniform trekken uit het eenheidsinterval [0, 1]. De gewichten van verschillende bindingen zijn onafhankelijk. Voor p ∈ [0, 1], zij Cp de cluster van de oorsprong met parameter p, dat wil zeggen, de verzameling van alle bindingen met gewicht ≤ p die aan elkaar hangen en de oorsprong bevatten. We zijn ge¨ınteresseerd in de zogenaamde percolatiefunctie: θ(p) = P(|Cp| = ∞). In mijn scriptie zullen de volgende feiten bewezen worden: 1. Voor d ≥ 2 bestaat er een pc ∈ (0, 1) zodanig dat θ(p) = 0 voor p 0 voor p>pc. 2. Op Tσ kan p %→ θ(p) bepaald worden. Er geldt pc = 1/σ. 3. Op Zd is met kans 1 een oneindige cluster uniek. Op Tσ is dit niet het geval. 4. De functie p %→ θ(p) is continu buiten pc.Show less
In this bachelor thesis we are going to investigate what kind of models exist to simulate fish schools. It is based on a search through literature in order to find these models. We are especially...Show moreIn this bachelor thesis we are going to investigate what kind of models exist to simulate fish schools. It is based on a search through literature in order to find these models. We are especially interested in the continuum models, which consider the whole school as a unit instead of simulating each fish individually. We are going to elaborate these models mathematically. The choice for this subject arose from our interest in biology, so combining it with mathematics was a logical choice. Because it is a search through literature, we did not know in advance what kind of models we were going to find. The model(s) that we did find in the end, turned out to be too hard to analyse with elementary methods. Therefore this thesis gives a few starting points for future research, e.g. in a master project.Show less
In de wat meer gecompliceerde organismen, zoals de mens, vormen netwerken van zenuwcellen een signaalsysteem, voor het observeren en reageren op de buitenwereld. Zo’n netwerk van zenuwcellen noemen...Show moreIn de wat meer gecompliceerde organismen, zoals de mens, vormen netwerken van zenuwcellen een signaalsysteem, voor het observeren en reageren op de buitenwereld. Zo’n netwerk van zenuwcellen noemen we een bio-neuraal netwerk. We bekijken zenuwcellen als lichaamscellen die een impuls kunnen ontvangen, en die een impuls kunnen doorgeven aan een andere zenuwcel, waarmee die in contact staat. We kijken in deze scriptie naar het potentiaalverschil van een netwerk van zenuwcellen, uitgezet tegen de tijd. Om inzicht te krijgen in zulk soort modellen, moeten we ons eerst beperken tot de werking van een enkele zenuwcel. Hierbij zullen we numerieke experimenten uitvoeren met CONTENT. Vervolgens zullen we uitgebreid een wiskundig model voor de membraanpotentialen van de cellen in een bio-neuraal netwerk afleiden, en ook daarmee numerieke experimenten uitvoeren. We zullen ons bezighouden met twee versies van het model: een versie zonder tijdsvertraging, delay, en een versie met delay. De delay ontstaat uit het feit dat het tijd kost om als prikkel van het ene neuron naar het andere te reizen. Het doel van het onderzoek is, behalve het ’verkennen’ van deze modellen, het uitzoeken van belangrijke verschillen tussen de twee modellen. De numerieke analyse van het tweede model, het model waar er sprake is van een vertraging, zal worden gedaan met Matlab. Hierbij heb ik zelf een programma binnen Matlab geschreven, die een delay-vergelijking kan oplossen met behulp van een methode die Successieve Integratie heet. Dit bespreken we, en in de appendix zit de code van de m-fileShow less
Planetary nebulae (PN) often have weird shapes, due to an inhomogeneous interstellar medium. We investigated the propagation of the shock wave that forms a PN. The form of the shock wave depends on...Show morePlanetary nebulae (PN) often have weird shapes, due to an inhomogeneous interstellar medium. We investigated the propagation of the shock wave that forms a PN. The form of the shock wave depends on the initial density distribution. The equation that describes the shock propagation is a first order non-linear partial differential equation. We found a analytic solution for the equation after a certain assumptions for some basic functions and made estimations for more complex density functions. We also made a model that used toroidal coordinates and one in three dimensions. The toroidal model resembles the Red Rectangle nebula. We also inverted the two-dimensional equation with some assumptions to derive the initial density function from a known shock wave. We used a numerical model to compute the density profile for eleven known planetary nebula. This leads to a qualitative classification into the ellipsoidal, disk and and irregular nebula. Inserting some test shock waves into this equation shows the existence of a extraordinary clover like shape in the density function.Show less
The study of Banach algebras began in the twentieth century and originated from the observation that some Banach spaces show interesting properties when they can be supplied with an extra...Show moreThe study of Banach algebras began in the twentieth century and originated from the observation that some Banach spaces show interesting properties when they can be supplied with an extra multiplication operation. A standard example was the space of bounded linear operators on a Banach space, but another important one was function spaces (of continuous, bounded, vanishing at infinity etc. functions as well as functions with absolutely convergent Fourier series). Nowadays Banach algebras is a wide discipline with a variety of specializations and applications. This particular paper focuses on Gelfand theory — the relation between multiplicative linear functionals on a commutative Banach algebra and its maximal ideals, as well as with the spectra of its elements. Most of the content of chapters 1 thorough 3 is meant, in one way or another, to lead towards this theory. The central ingredient of Gelfand theory is the well-known Gelfand-Mazur theorem which says that if a Banach algebra is a division algebra then it is isomorphic to C. The first chapter is a purely algebraic one and provides us with all the necessary algebraic techniques, particularly concerning algebras without identity. The second and third chapters introduce normed algebras and Banach algebra and other concepts like the spectrum, and prove several important results among which the Gelfand-Mazur theorem. The fourth chapter is the pivotal one — where Gelfand theory is developed. In the fifth chapter several examples of Banach algebras are discussed in detail, together with their Gelfand representations. Some practical applications of the theory are also mentioned, among which Wiener’s famous theorem about zeroes of functions with absolutely Fourier series, proven entirely from the context of Banach algebras.Show less
Nederland kent aan het begin van de 20e tegengestelde politieke bewegingen. Aan de ene kant de polariserende verzuiling en aan de andere kant het samenbrengende nationalisme. Welke van de ze twee...Show moreNederland kent aan het begin van de 20e tegengestelde politieke bewegingen. Aan de ene kant de polariserende verzuiling en aan de andere kant het samenbrengende nationalisme. Welke van de ze twee bewegingen speelde een belangrijke rol bij de viering van 100 jaar koninkrijk in de gemeente Wateringen.Show less
