Abstract De kunstenaar Richard Serra heeft een verweerd stalen kunstwerk gemaakt [5] waarin hij twee ellipsen, die in verschillende parallelle vlakken liggen en gedraaid zijn ten opzichte van...Show moreAbstract De kunstenaar Richard Serra heeft een verweerd stalen kunstwerk gemaakt [5] waarin hij twee ellipsen, die in verschillende parallelle vlakken liggen en gedraaid zijn ten opzichte van elkaar, met een vlak heeft omwikkeld. Hierdoor worden puntenparen op de ellipsen verbonden door middel van rechte lijnen. Dit beeld, genaamd Torqued Ellipse, is door Bas Edixhoven geanalyseerd en hij heeft laten zien dat het werk gemodelleerd kan worden als het reële deel van een deelverzameling van een algebraïsche verzameling die we Serra’s oppervlak noemen. Het oppervlak leeft in de complexe projectieve ruimte P3 pCq en in dit oppervlak vinden we een tweede beeld dat het eerste beeld snijdt in de twee ellipsen en dat we de Siamese Tweeling noemen. We zullen zien dat onze modellen van de beelden eenvoudig en op veel verschillende manieren als oppervlakken geparametriseerd kunnen worden in de R3 . Het doel zal zijn om een parametrisatie te maken, waarin de algebraïsche structuur van Serra’s oppervlak is terug te vinden, dat wil zeggen een parametrisatie die aan de ene kant een familie rechte lijnen en aan de andere kant een familie algebraïsche krommen is. Om deze parametrisatie te bereiken, inbedden we de R3 in de P3 pCq en laten we zien dat Serra’s oppervlak een P1 pCq-bundel vormt, wat ons een parametrisatie van de Torqued Ellipse en de Siamese Tweeling oplevert. Vervolgens construeren we een werking van een groep van bepaalde morfismen op de verzameling van P1 pCq-bundels over Serra’s oppervlak. De groep bevat een bijzonder element, dat onze P1 pCq-bundel trivialiseert en dit levert opnieuw een parametrisatie van de Torqued Ellipse en de Siamese Tweeling. Deze parametrisatie is, zoals gewenst, degene die de algebraïsche krommen op het oppervlak weergeeft. Via de volgende link kunnen we een aantal interactieve afbeeldingen openen van het oppervlak en de krommen erop, die (beter dan de statische afbeeldingen) de drie-dimensionale structuur van het beeld naar voren zal brengen:Show less
We bepalen het statische elektrisch veld en ladingsdichtheid van ladingdragende kwadratische oppervlakken, zowel ellipsoïden als hyperboloïden. Daarnaast bepalen we ook het statische magnetisch...Show moreWe bepalen het statische elektrisch veld en ladingsdichtheid van ladingdragende kwadratische oppervlakken, zowel ellipsoïden als hyperboloïden. Daarnaast bepalen we ook het statische magnetisch veld van stromen over een eenbladige hyperboloïde. In hoofdstuk 1 zal hiervoor eerst de theorie achter statische elektromagnetische velden besproken worden. Daarnaast zal ook blijken dat dergelijke velden de gradient zijn van de bijbehorende scalaire potentiaal. Deze potentiaal is een oplossing van de vergelijking van Laplace. In hoofdstuk 2 zal het ellipsoïdale coördinatenstelsel geïntroduceert worden. Dit is een orthogonaal coördinatenstelsel waarin de Laplaciaan gesplitst kan worden in de drie bijbehorende coördinaten. Coördinaatoppervlakken vormen kwadrieken met confocale hyperbolen en confocale ellipsen. In dit coördinatenstelsel kunnen we de potentiaal van een geladen kwadriek vinden door het oplossen van de vergelijking van Laplace in één variabele. In hoofdstuk 3 zullen we de oplossingen van de vergelijking van Laplace gebruiken om de ladingsverdeling over geleidende kwadrieken te vinden en het statische elektrisch veld dat hier bij hoort. In hoofdstuk 4 zullen we zien hoe de verschillende stroomverdelingen over een eenbladige hyperboloïde er uit kunnen zien en welke statische magnetische velden hier door worden geïnduceerd.Show less
In dit onderzoek beschouwen we de banen van een puntmassa in een centraal krachtveld. Daartoe gaan we uit van een centrale kracht van de vorm F~ (~r) = −krn~er, waarbij k ∈ R een constante is en n...Show moreIn dit onderzoek beschouwen we de banen van een puntmassa in een centraal krachtveld. Daartoe gaan we uit van een centrale kracht van de vorm F~ (~r) = −krn~er, waarbij k ∈ R een constante is en n een willekeurig re¨eel getal. Allereerst wordt behandeld dat de beweging in de ruimte genoteerd kan worden als de beweging in een vlak indien de kracht centraal staat. Vervolgens wordt een algemene baanvergelijking bepaald voor willekeurige n om de banen te beschrijven. Daarbij wordt onderzocht welke banen op te lossen zijn met behulp van trigonometriche-, hyperbolische of elliptische functies. Zo niet, dan zal de vergelijking wellicht numeriek benaderd kunnen worden met behulp van de numerieke methode Runge-Kutta 4. Zo ook wordt onderzocht voor welke n er stabiele begrensde banen bestaan. In de bespreking van de banen wordt onder andere de radi¨ele positie en de radi¨ele snelheid bestudeerd omdat die belangrijk zijn voor de vorming van de baan. De banen, die beschreven worden door trigonometrische- of hyperbolische functies, worden onder andere besproken. Dit zijn de banen onder invloed van de centrale kracht waarbij n = −2, n = 1 of n = −3 geldt. De centrale kracht waarbij n = −2 is van toepassing op ons zonnestelsel en elektrische krachten tussen geladen deeltjes. De centrale kracht waarbij n = 1 is van toepassing op het uitrekken van veren. Ten slotte worden de banen onder invloed van de centrale kracht voor n = −5 besproken. Onder invloed van deze kracht worden de banen beschreven door elliptische functies. De overige banen, die beschreven worden door elliptische functies, zijn onder invloed van de centrale krachten waarbij n = −7, −4, 0, 3, 5, − 5 2 , − 7 3 , − 5 3 , − 3 2 , − 1 3 geldt.Show less
