We investigate the geometric Berry phase interpretation of the intrinsic anomalous Hall effect in a d-dimensional crystalline solid. It has three parts: (1) By the TKNN formula, the contribution σ...Show moreWe investigate the geometric Berry phase interpretation of the intrinsic anomalous Hall effect in a d-dimensional crystalline solid. It has three parts: (1) By the TKNN formula, the contribution σ^n_xy of the n-th band to the interband Hall conductivity is the integral over the first Brillouin zone of f_FD(ϵ(k))f^n(k), where f_FD is the Fermi-Dirac distribution and f^n can be interpreted as a local coordinate representation of the curvature of a connection on a principal U(1)-bundle over the d-dimensional torus T^d. (2) This connection gives rise to a notion of parallel transport on the bundle which reflects the physical time evolution of the system in the adiabatic limit. (3) In two dimensions at low temperatures, it follows that σ^n_xy is a universal constant multiplied by a geometric phase acquired by the system when the wave vector traverses a loop in the Brillouin zone. A classification theorem for connections on principal G-bundles in terms of their pullbacks along local sections is proved, in order to be able to construct the connection on the U(1)-bundle over T^d. Finally, the Rashba model for ferromagnetism is discussed to demonstrate the necessity of time reversal symmetry breaking and spin-orbit coupling in the anomalous Hall effect.Show less
We cover the reduction theory of binary forms. For euclidean number rings R that are discrete in the complex numbers C, we give an algorithm that, given a binary form F over R of degree >= 3,...Show moreWe cover the reduction theory of binary forms. For euclidean number rings R that are discrete in the complex numbers C, we give an algorithm that, given a binary form F over R of degree >= 3, finds the binary with minimal norm or height in the SL2(R) orbit of F. We also generalise this algorithm to discrete number rings that are principal ideal domains (i.e. have class number 1), but give no algorithm to find the smallest one.Show less
The Covariant Galileon Model is an extension of General Relativity constructed by adding an extra scalar degree of freedom to it. The mathematical background of the model is therefore also found in...Show moreThe Covariant Galileon Model is an extension of General Relativity constructed by adding an extra scalar degree of freedom to it. The mathematical background of the model is therefore also found in differential geometry. The equations of motion of the model can be derived from its Lagrangian. Using the ADM formalism and tools from differential geometry the EFT functions of the model are then found. Numerical solutions to the model are given for two different sets of parameters and for variations of the the present day matter density and the Hubble constant at the start of the simulation. From these it is concluded that a more thorough Monte Carlo simulation of the model is a useful tool for further analysis of the model. Furthermore more research is needed for a better interpretation of the found solutions to the model.Show less
In this thesis, we will investigate the transformation of electromagnetic fields under conformal maps. When a conformal map is applied to such a field, the resulting field is again a valid...Show moreIn this thesis, we will investigate the transformation of electromagnetic fields under conformal maps. When a conformal map is applied to such a field, the resulting field is again a valid electromagnetic field. Even when the conformal map is complex, i.e. it mixes real and complex points of space, the resulting field is valid. To better understand complex conformal maps, we introduce Dirac spinors and Twistor space. Using these concepts, we find a nicer expression for a — possibly complex — conformal transformation. This could ease the calculation of the transformed electromagnetic field.Show less
Abstract De kunstenaar Richard Serra heeft een verweerd stalen kunstwerk gemaakt [5] waarin hij twee ellipsen, die in verschillende parallelle vlakken liggen en gedraaid zijn ten opzichte van...Show moreAbstract De kunstenaar Richard Serra heeft een verweerd stalen kunstwerk gemaakt [5] waarin hij twee ellipsen, die in verschillende parallelle vlakken liggen en gedraaid zijn ten opzichte van elkaar, met een vlak heeft omwikkeld. Hierdoor worden puntenparen op de ellipsen verbonden door middel van rechte lijnen. Dit beeld, genaamd Torqued Ellipse, is door Bas Edixhoven geanalyseerd en hij heeft laten zien dat het werk gemodelleerd kan worden als het reële deel van een deelverzameling van een algebraïsche verzameling die we Serra’s oppervlak noemen. Het oppervlak leeft in de complexe projectieve ruimte P3 pCq en in dit oppervlak vinden we een tweede beeld dat het eerste beeld snijdt in de twee ellipsen en dat we de Siamese Tweeling noemen. We zullen zien dat onze modellen van de beelden eenvoudig en op veel verschillende manieren als oppervlakken geparametriseerd kunnen worden in de R3 . Het doel zal zijn om een parametrisatie te maken, waarin de algebraïsche structuur van Serra’s oppervlak is terug te vinden, dat wil zeggen een parametrisatie die aan de ene kant een familie rechte lijnen en aan de andere kant een familie algebraïsche krommen is. Om deze parametrisatie te bereiken, inbedden we de R3 in de P3 pCq en laten we zien dat Serra’s oppervlak een P1 pCq-bundel vormt, wat ons een parametrisatie van de Torqued Ellipse en de Siamese Tweeling oplevert. Vervolgens construeren we een werking van een groep van bepaalde morfismen op de verzameling van P1 pCq-bundels over Serra’s oppervlak. De groep bevat een bijzonder element, dat onze P1 pCq-bundel trivialiseert en dit levert opnieuw een parametrisatie van de Torqued Ellipse en de Siamese Tweeling. Deze parametrisatie is, zoals gewenst, degene die de algebraïsche krommen op het oppervlak weergeeft. Via de volgende link kunnen we een aantal interactieve afbeeldingen openen van het oppervlak en de krommen erop, die (beter dan de statische afbeeldingen) de drie-dimensionale structuur van het beeld naar voren zal brengen:Show less
We will study a certain random partition on the vertex set of a graph that has recently been introduced. To do this we will analyse a related two-point correlation. The random partition has an...Show moreWe will study a certain random partition on the vertex set of a graph that has recently been introduced. To do this we will analyse a related two-point correlation. The random partition has an exact sampling algorithm and it has recently been used to design novel algorithms for network datasets. In statistical physics there is also interest in this object as it is related to the random cluster model and the uniform spanning tree. In the preliminary study these objects have been analysed for complete graphs, which are dense. The goal of this thesis is to study the random partition and the two-point correlation on tree structures, which are sparse graphs. We will prove two theorems that give formulas for the computation of two point correlations on trees, and we will do a detailed analysis of star graphs. Through this analysis we will find out what values of an associated tuning parameter controlling the size of the blocks in the random partition can uncover information about the underlying structure of the star graph.Show less