An (inhomogeneous) abstract Cauchy problem is a type of differential equation of Banach space valued functions. The only derivate in a Cauchy problem is du dt , where u is the sought-after solution...Show moreAn (inhomogeneous) abstract Cauchy problem is a type of differential equation of Banach space valued functions. The only derivate in a Cauchy problem is du dt , where u is the sought-after solution. However, because we consider such a general setting, we could for example also formulate some systems of multiple higher order differential equations as a Cauchy problem. In section 3 we consider certain stochastic integral equations. The connection with the (inhomogeneous) abstract Cauchy problem is, that the latter is (almost) a special case of the stochastic integral equations that we study. The idea is that the stochastic element adds the resulting effect of random ’white noise’. This can be useful in all sorts of applications, since it can model the effects of small changes one could not predict. We first consider a stochastic integral equation in a separable Hilbert space, for which an existence and uniqueness proof is known (see [GA]). We would like to generalise this by allowing values in an arbitrary Banach space. This is done in section 3.3. We will also prove a boundedness result there. We finish in section 3.4 with some specific examples of stochastic integral equations. I would like to thank my thesis supervisor Onno van Gaans for the effort he has put into guiding me in the right direction. Thanks to his regular help I have always had the sense of really getting somewhere.Show less
In deze bachelorscriptie wordt een karakterisering gegeven van reguliere operators op de eindige rijen, c00(I), naar een willekeurige gerichte geordende vectorruimte Y ; de ruimte Lr(c00(I), Y )...Show moreIn deze bachelorscriptie wordt een karakterisering gegeven van reguliere operators op de eindige rijen, c00(I), naar een willekeurige gerichte geordende vectorruimte Y ; de ruimte Lr(c00(I), Y ) blijkt orde-isomorf te zijn met de eenvoudige ruimte van functies van I naar Y, Y I . Als Y gericht en integraal gesloten is, dan blijkt Lr(c00(I), Y ) ⊂ Lr(c00, Y δ ) ordedicht en kan, als het supremum van twee operators bestaat, de formule van Riesz-Kantoroviˇc worden toegepast. Ook blijkt Lr(c00(I), Y ) archimedisch, riesz of dedekind compleet te zijn dan en slechts dan als Y respectievelijk archimedisch, riesz of dedekind compleet is. Via een analoog bewijs blijkt de ruimte van continue reguliere operators Lr(` 1 , X) van ` 1 naar een geordende banachruimte (X, || · ||) met een, nader te specificeren M-reguliere norm || · ||, orde-isomorf te zijn met ` ∞(X). Wat nieuw schijnt te zijn, is een bewijs dat ordedichtheid transitief is, i.e. als X ⊂ Y ordedicht en Y ⊂ Z ordedicht, dan is X ⊂ Z ordedicht. De scriptie begint met een beknopte inleiding in de theorie over (abstracte) geordende vectorruimten, met veel aandacht voor equivalente definities.Show less
