Na de aanslagen op het World Trade Center in New York in 2001 rees de urgente vraag naar het brein achter de organisatie. Deze vraag werd na verloop van tijd beantwoord, maar wiskundigen vroegen...Show moreNa de aanslagen op het World Trade Center in New York in 2001 rees de urgente vraag naar het brein achter de organisatie. Deze vraag werd na verloop van tijd beantwoord, maar wiskundigen vroegen zich af of dit probleem ook speltheoretisch aangepakt kon worden. Er is een netwerk gemaakt van de onderlinge relaties tussen alle betrokkenen. Al snel werd vermoed dat degene met de meeste verbindingen de belangrijkste was uit het terrorismenetwerk. Meer specifiek, als we het netwerk als graaf presenteren, dat de knoop met de hoogste Shapleywaarde ook de belangrijkste persoon representeert. Echter is de Shapleywaarde computationeel heel lastig. Om deze te berekenen moest het netwerk kleiner gemaakt worden, waardoor de gevonden waarde afwijkt van de werkelijke waarde. In 2018 hebben T.C. Van der Zanden, H.L. Bodlaender en H.J.M. Hamers [9] een algoritme ontwikkeld, waarmee de Shapleywaarde van het totale netwerk berekend kan worden in een fractie van de tijd die nodig was om het gereduceerde probleem op te lossen. In deze scriptie wordt dit algoritme besproken en hoe dit algoritme de Shapleywaarde van een knoop kan berekenen. Hiervoor wordt eerst de benodigde achtergrond samengevat en doorgenomen en worden enkele stellingen bewezen. De bedoeling was eerst om een code te schrijven aan de hand van het algoritme om het vervolgens toe te kunnen passen op metronetwerken. Echter bleek dit een onbegaanbaar pad te zijn. In het artikel dat besproken wordt in deze scriptie staat een aantal foutjes, die gedeeltelijk repareerbaar bleken. Ook zijn niet alle details volledig uitgewerkt in het artikel. Dit maakte het schrijven van een correcte code te tijdrovend, hetgeen ertoe leidde dat dit plan werd stilgelegd na een jaar. Besloten is toen om meer te richten op het toelichten van het algoritme en, waar mogelijk, de kleine foutjes te repareren. Echter is dit ook maar gedeeltelijk gelukt. De achtergrondartikelen zijn vaak wat kort door de bocht. De stellingen zo helder mogelijk te formuleren en bewijzen was hierdoor wat lastig. Het kort door de bocht zijn, geldt in het bijzonder voor het artikel met het algoritme. Er is zeer veel tijd besteed aan het identificeren en repareren van fouten in het algoritme, en toch is het nog steeds niet gelukt om dit zodanig te interpreteren dat het goede uitkomsten geeft. Het is in dit licht dan ook opmerkelijk dat [9] in 2022 nog steeds niet gepubliceerd is. Wel is het gelukt te identificeren waar in het algoritme iets misloopt.Show less
Het is weer tijd voor een spelletjesmiddag. De chips staat op tafel en de bier- of Cola flesjes wordenopen geploft. Nu de vraag: welk spel gaan we spelen? Helaas zijn niet veel van je vrienden...Show moreHet is weer tijd voor een spelletjesmiddag. De chips staat op tafel en de bier- of Cola flesjes wordenopen geploft. Nu de vraag: welk spel gaan we spelen? Helaas zijn niet veel van je vrienden opkomen dagen en zijn jullie met zijn twee ?en.DOMINEERING,NIMofHACKENBUSH? Of tochMAZE,PUSHof AMAZONS? Na wat discussie wordt besloten het spelHEXte spelen. Echter is dit spel alvaak genoeg gespeeld, dus de ducttape wordt gepakt en een andere versie ontstaat:CILINDRISCHHEX. Hier zijn de linker- en rechter randen van het speelbord aan elkaar geplakt, wat het speelbordniet vlak maar cilindrisch maakt. Jij en je vriend zijn echter zeer fanatiek, en gaan eerst goednadenken wat de strategie moet zijn om dit spel te spelen. In deze scriptie wordt onderzocht watde winnende strategie ?en zijn bij het spel Cilindrisch Hex, en of het mogelijk is een strategie vooreen cilindrisch bord met omtrek 5 te construeren.Hierbij wordt vanuit gegaan dat beide spelers optimaal spelen. Dit betekent dat een speler altijdeen zet zal doen, die het meest gunstigst voor hem is. Dit doet hij wetend dat zijn tegenspelerdit ook zal doen. Neem bijvoorbeeld het spelBOTER, KAAS EN EIEREN. Als spelerOdrie-op-een-rij kan maken, zal die dit ook zeker doen. Maar als spelerOtwee-op-een-rij kan maken, maardaardoor spelerXin de volgende zet drie-op-een-rij, moet spelerOspelerXblokkeren.In het spel Cilindrisch Hex is al het een en ander bekend, maar ook nog veel onbekend. Het spelwordt gespeeld op een cilindrisch bord vannrijen en omtrekmdoor speler Blauw en speler Rood,die om en om een tegel kleuren in hun kleur. Rood probeert een pad van boven naar beneden temaken en Blauw een kring om de cilinder heen. In [4] is bewezen dat er altijd een winnaar is; in[1] is een winnende strategie voor Rood bepaald voor een bord met even omtrek, en in [3] is ookeen winnende strategie gevonden voor Rood voor een bord met omtrek 3. Voor de andere bordenwordt vermoed dat hiervoor ook Rood een winnende strategie heeft, maar dat is nog niet bewezen[3]. Wat de strategie ?en zijn voor omtrekmmetm?5 oneven, is dus nog onbekend, en in dezescriptie wordt een poging gedaan deze te vinden; in het bijzonder voorm= 5.In Hoofdstuk 2 wordt het spelHEXenCILINDRISCH HEXuitgelegd. In Hoofdstuk 3 wordt eennieuw bewijs gegeven op de Cilindrische Hex-stelling. Deze stelling houdt in dat het spel niet ingelijkspel kan eindigen. Vervolgens worden in Hoofdstuk 4 de bestaande strategie ?en onderzochten voor de even omtrek een nieuw bewijs gegeven. Als laatste wordt dan het spel met omtrek 5onderzocht in Hoofdstuk 5.Show less
Als eerstejaars wiskundestudent voelt het moment dat je inziet dat er ’meerdereoneindigheden’ zijn als een moment van verlichting. Deze scriptie is in een zekere zineen ode aan dat gevoel, een...Show moreAls eerstejaars wiskundestudent voelt het moment dat je inziet dat er ’meerdereoneindigheden’ zijn als een moment van verlichting. Deze scriptie is in een zekere zineen ode aan dat gevoel, een verdieping van die verwondering. Het blijkt namelijkdat die verschillende oneindigheden zich op een totaal verschillende manierenkunnen gedragen. Hiervan zullen we een aantal voorbeelden gaan uitwerken, metname toegespitst op verschillen tussen de aftelbare oneindigheid en de kleinsteoveraftelbare oneindigheid. Het hoofdstuk over het Pressing Down Lemma laatons zien dat er stellingen zijn die uitsluitend werken in het overaftelbare geval, nietin het aftelbare geval. In het laatste hoofdstuk over oneindige bomen zullen wejuist een voorbeeld zien van een stelling die waar is in aftelbare oneindige gevallen,maar niet in overaftelbare gevallen. Voordat we dit kunnen doen, zullen we in heteerste hoofdstuk een aantal gereedschappen introduceren om mee aan de slag tegaan.Show less
Een geliefd uitje tijdens een vakantie in Griekenland is een bezoek aan de Dik-teon Grot op Kreta. Volgens de Griekse mythologie is deze grot de geboorteplekvan de oppergod Zeus, daarom wordt deze...Show moreEen geliefd uitje tijdens een vakantie in Griekenland is een bezoek aan de Dik-teon Grot op Kreta. Volgens de Griekse mythologie is deze grot de geboorteplekvan de oppergod Zeus, daarom wordt deze grot ook wel de grot van Zeus ge-noemd. De ingang van de grot ligt echter boven op een berg en is moeilijkbereikbaar met de auto. De weg naar de top is een hele klim dus lopen is,alhoewel mogelijk, niet altijd te prefereren. Gelukkig is er de mogelijkheid omde trip per ezel af te leggen. Aan de voet van de berg en bij de ingang van degrot zijn ezelverhuurplekken vanwaar je een ezel naar boven respectievelijk naarbeneden kan nemen. Er is echter maar een beperkt aantal ezels inzetbaar ende grot trekt grote aantallen toeristen die allemaal een ezeltocht willen maken.Een voor de hand liggende vraag is dan ook hoeveel ezels er minimaal nodig zijnom de grote aantallen toeristen te vervoeren. Wanneer veel toeristen enkel eenezel mee naar boven nemen en vervolgens besluiten zonder ezel af te dalen, kanhet voorkomen dat er bij de ezelverhuurplek aan de voet van de berg geen ezelsmeer beschikbaar zijn. In dat geval kan het handig zijn om een aantal ezels vanboven naar beneden te sturen, ook zonder passagier, om zo effici ?enter de ezelste verdelen over de twee verhuurplekken. Voor de ezelverhuurder kan het dusvoordelig zijn om een effici ?ente strategie te verzinnen wat betreft de ezelverde-ling. Deze strategie zouden we kunnen vinden met behulp van modelleren.In deze scriptie gaan we het systeem met de twee ezelverhuurplekken nader on-derzoeken. Dit doen we door een model van de situatie te construeren en teanalyseren. We proberen hiermee vragen over dit systeem te beantwoorden zo-als: Wat is de verwachte rijlengte van de klanten die per ezel naar boven willengaan? Of bijvoorbeeld: Wat is de gemiddelde verwachte tijdsduur dat de ezelsgeen klanten aan het vervoeren zijn?Het eerste en meest vereenvoudigde model bleek niet nauwkeurig genoeg om ge-makkelijk expliciete resultaten te vinden waarna we een tweede, nauwkeurigermodel hebben opgesteld en geanalyseerd. De modellen die we hiervoor constru-eren zijn niet eerder uitvoerig beschreven in de literatuur dus is het nodig dezeeerst grondig te bestuderen. In deze scriptie beginnen we met het beschrijvenen analyseren van de twee modellen. Vervolgens vergelijken we de modellen on-derling en onderzoeken we in welke mate het gecompliceerdere model ons meerkan vertellen over het systeem ten opzichte van het vereenvoudigde model.We kunnen met behulp van deze modellen een effici ?ente strategie proberen teformuleren wat betreft de verdeling van de ezels over de twee verhuurplekken.Helaas bleek naast de analyse van beide modellen een effici ?ente strategie vindente ambitieus en is het niet gelukt de scriptie uit te breiden met het vinden vaneen dergelijke strategie. Voor een volgend onderzoek kan het interessant zijnom voor dit model de meest effici ?ente strategie proberen te vinden.Show less
Op effectenbeurzen worden niet alleen direct aandelen verhandeld, maar ook zogehetenderivaten. Dit zijn financiële producten die hun waarde ontlenen aan een onderliggendfinanciëel instrument, in...Show moreOp effectenbeurzen worden niet alleen direct aandelen verhandeld, maar ook zogehetenderivaten. Dit zijn financiële producten die hun waarde ontlenen aan een onderliggendfinanciëel instrument, in deze scriptie is dat onderliggende instrument vaak een aandeel.Het derivaat dat centraal staat in deze scriptie is deoptie. De calloptie geeft men hetrecht, maar niet de verplichting, om het onderliggende financiële instrument te kopenvoor een vooraf afgesproken prijs. Een putoptie is soortgelijk, maar geeft met het rechtom voor de vooraf afgesproken prijs te verkopen in plaats van te kopen. Deze voorafafsproken prijs wordt destrike pricegenoemd. Men kan alleen gebruik maken van hetkoop- of verkooprecht op de zogehetenmaturity date.Voorbeeld: Op 1 januari is een aandeel van een bedrijf $100 waard. Jantje kooptvoor $5 een calloptie met een strike price van $90 en maturity date van 3 maanden. Op 1april blijkt de waarde van het aandeel gestegen te zijn naar $115. Door gebruik te makenvan het recht van zijn optie, kan Jantje voor $90 het aandeel kopen wat ondertussen$115 waard is. De optie kostte hem $5, wanneer hij het aandeel op de markt verkooptkrijgt hij er $115 voor, hij zal dan$115?$90?$5 = $20winst maken.De centrale vraag in deze scriptie wordt optiewaardering genoemd: hoe bepaalt mende prijs van een optie zonder voorkennis over het prijsverloop van het aandeel. Om dezevraag te kunnen beantwoorden, moeten we op een wiskundige manier een inschattingmaken van de waarde van de optie tijdens maturity. De waarde van een optie wordtbepaald door het verschil tussen de strike price en de waarde van het aandeel. Wanneertijdens maturity de aandeelprijs hoger is dan de strike price (zoals in het voorbeeld), ishet gunstig om gebruik te maken van het recht om te kopen. In zo’n geval noemen weeen optiein-the-money.In deze scriptie komen 3 wiskundige modellen aan bod waarin optiewaardering sys-tematisch mogelijk is. Elk van deze modellen doet verschillende aannamen over definanciële markt en het aandeel in kwestie en heeft dus verschillende voordelen en nade-len. Voor elk van deze modellen lossen we het optiewaardering probleem op, hebben wehet over enkele toepassingen van het model in de praktijk en kijken we naar eventueleverbeterpunten.Show less
De studie van de bijna-lichamen is een relatief onbekend gebied van de wiskunde. Toch heefthet toepassingen in de groepen theorie, namelijk bij scherp tweevoudig transitieve werkingen. Erblijkt...Show moreDe studie van de bijna-lichamen is een relatief onbekend gebied van de wiskunde. Toch heefthet toepassingen in de groepen theorie, namelijk bij scherp tweevoudig transitieve werkingen. Erblijkt zelfs dat er een manier is om bij elk eindig bijna-lichaam een eindige scherp tweevoudigtransitieve werking te krijgen en omgekeerd, deze geven wij in stelling 3.10. Als we kijken naaralgemene bijna-lichamen, dan blijkt er nog steeds een manier te zijn om een scherp tweevoudigtransitieve werking te krijgen, maar het omgekeerde hoeft niet meer altijd te gelden. In stelling3.15 laten wij zien dat als de scherp tweevoudig transitieve werkingen een zogehetenregulierenormale ondergroephebben, ze dan wel altijd een bijna-lichaam geven en dat omgekeerd elkbijna-lichaam een scherp tweevoudig transitieve werking met een reguliere normale ondergroepgeeft. In deze scriptie zullen wij eerst de theorie omtrent bijna-lichamen ontwikkelen, hierbij gaanwij ook kijken naar iets algemenere objecten, genaamd bijna-ringen. Deze kunnen wij gebruikenom manieren te vinden om bijna-lichamen te construeren en te representeren. Daarna gebruikenwe deze theorie om de bovengenoemde methode concreet te maken. Ook zullen wij bewijzen datdeze methode in feite een equivalentie van categorieën geeft.Show less
