In this thesis we consider possible chaotic behavior of the stationary solutions of a coupled system of two partial differential equations. One of these PDE’s is closely related to the complex...Show moreIn this thesis we consider possible chaotic behavior of the stationary solutions of a coupled system of two partial differential equations. One of these PDE’s is closely related to the complex GinzburgLandau equation; the other is a diffusion equation. First, some background and applications of this system are given. After rescaling and some simplifications, we uncouple the system and look at the solution structure of the separate parts. The part which is related to the Ginzburg-Landau equation contains, for a certain choice of coefficients, a homoclinic orbit. Then, we consider the coupled system and analyze what will happen to the homoclinic orbit. In order to do so, we recall the Melnikov theory, which is used to calculate the break up of the homoclinic orbit. If the Melnikov function equals zero and its derivative is nonzero, there will be a transverse homoclinic orbit. The existence of a transverse homoclinic orbit will give rise to chaotic behavior of the dynamical system and the theoretical background of this is described in detail. Finally, by applying the Melnikov theory to our system, we establish the possibility of a transverse homoclinic orbit and hence the possibility of chaos.Show less
In this thesis I’ll discuss Conditional Independencies of Joint Probability Distributions (here after called CI’s respectively JPD’s) over a finite set of discrete random variables. Remember that...Show moreIn this thesis I’ll discuss Conditional Independencies of Joint Probability Distributions (here after called CI’s respectively JPD’s) over a finite set of discrete random variables. Remember that for any such JPD we can write down a list of all CI’s, between two subsets of variables given a third. Such a list is called a CI-trace. An arbitrary list of CI’s is called a CI-pattern, without a priori knowing if there will exist a corresponding JPD with this CI-pattern. For simplicity and without loss of generality we take all JPD’s over n + 1 variables and label them by the integers 0, 1, . . . , n. A CI-trace now becomes a set of triples consisting of subsets of [n], the random variables (with [n] I denote the set {0, 1, . . . , n}). For example (A, B, C) with A, B and C ⊂ [n] is such a triple, it can also be denoted as A⊥B|C, which means that the random variables of A are independent of the random variables of B given any outcome on the random variables of C. It was believed that CI-traces could be characterised by some finite set of rules, called Conditional Independence rules, CI-rule. Such a CI-rule would state that if a CI-trace contains a certain pattern of triplets it should also contain a certain other triple. Furthermore such a pattern of a CI-rule should itself be finite; it should consist of k CI’s, called the antecedents that would validate another k + 1’th CI, called the consequent. The order of a CI-rule is the number k of its antecedents. This idea would imply that the set of all CI-traces is equal to the set of all CI-patterns closed under the CI-rules. In 1992 Milan Studen´y wrote an article on this subject called Conditional Independence Relations have no finite complete characterisation. He proved that such a characterisation is not possible. Now the main goal of my thesis was to understand this article and to work out a readable version of the theorem and the proof. The proof is based on two major parts. First of all the existence of a particular JPD and its CI-pattern on n + 1 variables and secondly on a proposition about CI-patterns based on entropies. The remainder of my thesis will contain sections on these two major parts, Studen´y’s theorem and a small summary of the changes I made.Show less
This Bachelor’s thesis is about the complexity of the multichain classification problem. The problem is to detect whether a given Markov decision process is unichain or multichain. A Markov...Show moreThis Bachelor’s thesis is about the complexity of the multichain classification problem. The problem is to detect whether a given Markov decision process is unichain or multichain. A Markov decision process is unichain if the corresponding Markov chain contains only one recurrent class (and a possibly empty set of transient states) for every strategy, otherwise it is multichain. We first show that the general case is NP-complete. A polynomial algorithm is given for Markov decision processes that contain either a state which is recurrent for all strategies or a state which is absorbing under some strategy. The deterministic case is considered to be polynomial, but we only give an outline of the algorithm. We will provide a complete polynomial algorithm to reduce the problem for deterministic Markov decision processes. At last we will discuss some other polynomial algorithms, including an algorithm that reduces the multichain classification problem for a general Markov decision process in polynomial time to a multichain classification problem for a communicating Markov decision process (for every pair of states i, j there is a strategy such that i is reachable from j in the corresponding Markov chain).Show less
Het ladenprincipe, ook wel bekend onder de naam duivenhokprincipe, zegt in zijn simpelste vorm dat als een voldoende aantal objecten verdeeld wordt over niet te veel laden, er minstens ´e´en lade...Show moreHet ladenprincipe, ook wel bekend onder de naam duivenhokprincipe, zegt in zijn simpelste vorm dat als een voldoende aantal objecten verdeeld wordt over niet te veel laden, er minstens ´e´en lade is die veel van deze objecten bevat. In 1930 ontdekte Frank P. Ramsey [Ramsey] een bijzondere uitbreiding van dit principe die onder andere zegt dat als we de verzameling van takken van een oneindige volledige graaf in twee klassen verdelen, er een oneindige volledige deelgraaf is waarvan alle takken tot dezelfde klasse behoren. Het principe toont aan dat vanaf een bepaalde omvang willekeurige structuren noodzakelijkerwijs regelmatige deelstructuren moeten bevatten. Dit verslag geeft de resultaten van het onderzoek dat gedaan is naar de Stelling van Ramsey en de mogelijke uitbreidingen hiervan. Veel resultaten komen tot stand door het nemen van een partitie van een verzameling en vervolgens op een handige manier de verschillende objecten van de verzameling in de juiste klassen van de partitie te plaatsen. We spreken vanwege deze reden vaak over partitierelaties en noemen de stellingen die we behandelen partitiestellingen. Hoofdstuk 1 is een inleiding in partitierelaties en vormt de basis voor alles wat verder volgt. Het hoofdstuk is met name belangrijk omdat het partitiesymbool hierin ge¨ıntroduceerd wordt. Door gebruik te maken van dit symbool kunnen partitierelaties op een korte en duidelijke manier weergegeven worden. Hoofdstuk 2 behandelt de Stelling van Ramsey en geeft een beperkte uitbreiding van deze stelling. De Stelling van Erd˝os en Rado wordt in hoofdstuk 3 behandeld. Deze stelling is een uitbreiding van de stelling van Ramsey naar het overaftelbare geval. Het hoofdstuk kan het beste gelezen worden na hoofdstuk 2 aangezien het een logisch vervolg hierop is. Er wordt aangenomen dat de lezer bekend is met de basisprincipes van de verzamelingenleer. Een korte herhaling van de belangrijkste begrippen en notatie, wordt gegeven in de bijlage. Een andere belangrijke aanname die we maken is het keuzeaxioma; dat wil zeggen, we gebruiken het axiomastelsel van Zermelo–Fraenkel altijd samen met het keuzeaxioma. De belangrijkste bron waar gebruik van is gemaakt tijdens het onderzoek, is [Erd˝os et al.]. Voor een ieder die meer wil weten over het onderwerp is dit boek aan te raden.Show less
